题目内容

已知曲线C上的动点P到点F（2，0）的距离比它到直线x=﹣1的距离大1．
（I）求曲线C的方程；
（II）过点F（2，0）且倾斜角为的直线与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明：|FP|﹣|FP|·cos2α为定值，并求出此定值

   （I）解：设动点P（x，y），动点P到点F（2，0）的距离比它到直线x=﹣1的距离多1，
即动点P到点F（2，0）的距离等于它到直线x=﹣2的距离
∴两边平方（x﹣2）2+y2=（x+2）2
化简可得：y2=8x
（II）证明：如图，作AC⊥l，BD⊥l，
设A，B的横坐标分别为xA，xB
则=|FA|cosα+4，解得
同理|FB|=4﹣|FB|cosα，解得
记m与AB的交点为E，
则|FE|=|FA|﹣|AE|===
∴
故
即FP|﹣|FP|cos2α为定值，定值为8．
练习册系列答案
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已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
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（Ⅱ）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA、EB，切点为A、B．直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
已知曲线C上的动点P到点F（2，0）的距离比它到直线x=-1的距离大1．
（I）求曲线C的方程；
（II）过点F（2，0）且倾斜角为α(0＜α＜
π2
)的直线与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明：|FP|-|FP|•cos2α为定值，并求出此定值．
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2

（1）求曲线C的方程．
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