Question

关于函数，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②f（x）的最小值是lg2；
③（-1，0）是f（x）的一个递增区间；
④f（x）没有最大值．
其中正确的是    （将正确的命题序号都填上）．

Answer 1

【答案】分析：利用基本不等式，可得当x=±1时，t=达到最小值2．由此进行分析：根据奇偶性的定义证出f（x）在其定义域上为偶函数，故①正确；由真数对应的函数最小值为2，可得f（x）=lgt的最小值是lg2，得②正确；根据在（-∞，0）上，真数t=在x=-1时有最小值，得（-1，0）是f（x）的一个增区间，得③正确；根据真数的值没有最大值，得到④正确．由此可得本题答案．
解答：解：设t==|x|+，
则|x|+≥2=2，当且仅当|x|=1时，等号成立
∴当x=±1时，t达到最小值2
对于①，由于f（-x）===f（x）
∴函数f（x）在其定义域上为偶函数，故其图象关于y轴对称，得①正确；
对于②，因为t=的最小值为2，底数10是大于1的数
∴f（x）=lgt的最小值是lg2，故②正确；
对于③，在（-∞，0）上，函数t=在x=-1时有最小值
故在（-1，0）上t为关于x的增函数，
可得函数f（x）=lgt也是在（-1，0）上的增函数，得③正确；
对于④，由于t=没有最大值，
可得函数f（x）=lgt也没有最大值，故④正确．
故答案为：①②③④
点评：本题给出含有分式的对数型函数，求它的单调性、奇偶性与最值．着重考查了利用基本不等式求最值、函数的简单性质及其应用等知识，属于中档题．