题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且 $数学公式$ ，a_n=-2S_n•S_n-1（n≥2）
（Ⅰ）证明： $数学公式$ 为等差数列；
（Ⅱ）求a_n．

（I）证明：∵a_n=S_n-S_n-1=-2S_n•S_n-1（n≥2）
∴ $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴{ $\text{[math]}$ }是以2为首项，以2为公差的等差数列
（2）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴a_n=-2S_n•S_n-1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）将已知a_n=S_n-S_n-1=-2S_n•S_n-1（n≥2）的两边同除以S_nS_n-1，利用等差数列定义证 $\text{[math]}$ 为等差数列；
（2）利用等差数列的通项公式求出 $\text{[math]}$ ，进而可求S_n，代入已知a_n=-2S_n•S_n-1可求．
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解通项公式，解答的关键是由a_n=S_n-S_n-1=-2S_n•S_n-1（n≥2）两边同除以S_nS_n-1

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