Question

α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：

①m⊥n　②α⊥β　③n⊥β　④m⊥α

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题          .

Answer 1

解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，

如下图,过m上一点P作PB∥n，则PB⊥m,PB⊥β，设垂足为B.

又设m⊥α的垂足为A，

过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C，

因为l⊥PA,l⊥PB,所以l⊥平面PAB，得l⊥AC,l⊥BC,∠ACB是二面角α-l-β的平面角.

显然∠APB+∠ACB=180°，因为PA⊥PB，所以∠ACB=90°，得α⊥β.由①③④推得②成立.

反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.

答案：m⊥α,n⊥β,α⊥βm⊥n或m⊥n,m⊥α,n⊥βα⊥β(二者任选一个即可).