Question

7．如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G．
（1）求证：∠AEF=∠EDF；
（2）设EF=6，求FG的长．

Answer 1

分析 （1）利用切割线定理可得FG²=FD•FA，利用EF=FG，可得$\frac{EF}{FD}$=$\frac{FA}{EF}$，从而可得△EFD∽△AFE，由此能证明∠AEF=∠EDF
（2）由△DFE∽△EFA，得EF²=FA•FD．由FG是圆的切线，得FG²=FA•FD．由此能求出FG的长．

解答 证明：（1）∵FG与圆O相切于点G，∴FG²=FD•FA，
∵EF=FG，EF²=FD•FA，
∴$\frac{EF}{FD}$=$\frac{FA}{EF}$，
∵∠EFD=∠AFE，∴△EFD∽△AFE．
∴∠AEF=∠EDF．
（2）由（1）知△DFE∽△EFA，∴$\frac{EF}{FA}$=$\frac{FD}{EF}$，即EF²=FA•FD．
∵FG是圆的切线，
∴FG²=FA•FD．
∴FG²=EF²，
∵EF=6，∴FG=EF=6．

点评 点评：本题考查切割线定理，考查三角形相似，考查圆周角，属于中档题．