Question

在一个正方体中，各棱、各面的对角线和体对角线中共有

174

对异面直线．

Answer 1

分析：首先弄清：一个正方体共有12条棱，12条面对角线，4条体对角线；通过正确分类讨论，可求出这28条直线中共面的共有多少对，进而即可得出答案．

解答：解：正方体共有12条棱，12条面对角线，4条体对角线，从这28条直线中任取2条有

C

2 28

种方法．
另一方面，这28条直线中任取2条共面的情况分为以下几种：
①从8个顶点中的每一个顶点出发的3条棱3条面对角线及1条体对角线共7条中任取2条共有

8C

2 7

种方法；
②从3组中的每4条平行的棱中任取2条共有3

C

2 4

种方法；
③从4条体对角线中任取2条共有

C

2 4

种方法；
④3对平行的相对的平面中的面对角线中共有6+2×3=12种方法．
综上可知：在一个正方体中，各棱、各面的对角线和体对角线中共有

C

2 28

-8

C

2 7

-3

C

2 4

-

C

2 4

-12=174对异面直线．
故答案为174

点评：掌握在一个正方体中，各棱、各面的对角线和体对角线共面的共有多少对是解题的关键．正确分类讨论是解题的关键．