Question

在直角坐标系xOy中，动点P到两定点(0，-

3

)，(0，

3

)的距离之和等于4，设动点P的轨迹为C，过点(0，

3

)的直线与C交于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）设d为A、B两点间的距离，d是否存在最大值、最小值；若存在，求出d的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意，由于动点P到两定点(0，-

3

)，(0，

3

)的距离之和等于4，有椭圆的定义知此动点的轨迹应为椭圆，有椭圆的定义即可得动点的轨迹方程；
（2）有题意，求过焦点的直线与椭圆产生的交点构成的过焦点的弦长，有焦半径公式即可求得．

解答：解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以（0，-

3

），（0，

3

）为焦点，
长半轴为2的椭圆．它的短半轴b=

22-( 3 )2

=1，
故曲线C的方程为x2+

y2

4

=1．
（2）①设过点（0，

3

）的直线方程为y=kx+

3

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
其坐标满足

x2+ y2 4 =1 y=kx+ 3

消去y并整理得（k²+4）x²+2

3

kx-1=0．
∴x₁+x₂=-

2 3 k

k2+4

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

3

=-

2 3 k2

k2+4

+2

3

．
∴d=|AF|+|BF|=e（

a2

c

-y1）+e（

a2

c

-y2）
=2a-e（y₁+y₂）=4=4+

3k2

k2+4

-3
=4-

12

k2+4

．
∵k²≥0，∴k=0时，d取得最小值1．
②当k不存在时，过点（0，

3

）的直线方程为x=0，
此时交点A、B分别为椭圆C的长轴的两端点，
∴d取最大值4．
综上，d的最大值、最小值存在，分别为4、1．

点评：（1）此问重点考查了利用定义法求动点的轨迹方程，关键要理解好椭圆定义的条件，并准确加以判断；
（2）此问重点考查了利用圆锥曲线的统一定义求解过焦点的弦长问题，并且还考查了解析几何中设而不求，整体代换的思想．