Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=

1

4

(b2+c2-a2)，则∠B=

 

．

Answer 1

分析：先利用正弦定理把acosB+bcosA=csinC中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得C=90°，进而可利用两直角边表示出三角形的面积，利用勾股定理化简整理可求得a=b，推断出三角形为直角等腰三角形，进而求得B．

解答：解：由正弦定理可知a=2rsinA，b=2rsinB，c=2rsinC，
∵acosB+bcosA=csinC，
∴sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，即sin（A+B）=sin²C，
∵A+B=π-c
∴sin（A+B）=sinC=sin²C，
∵0＜C＜π
∴sinC≠0
∴sinC=1
∴C=90°
∴S=

ab

2

=

1

4

(b2+c2-a2)
∵b²+a²=c²，
∴

1

4

(b2+c2-a2)=

1

2

b²=

ab

2

∴a=b
∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠B=45°
故答案为45°

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，两角和公式的化简求值，勾股定理的应用．考查了学生运用所学知识解决问题的能力．