Question

【题目】已知函数，其中e为自然对数的底数，函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数的值域为R，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为.(2) .

【解析】试题分析：(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;

(2)函数的导数,通过讨论m的范围得到函数的值域,从而确定m的具体范围即可.

试题解析：（1）.

由得，由得.

所以函数的单调增区间为，单调减区间为.

（2）.

当时， ，所以在区间上单调递减；

当时， ，所以在区间上单调递增.

1° 当时， 在上单调递减，值域为，

在上单调递减，值域为，

因为的值域为R，所以，即.（*）

由（1）可知当时， ，故（*）不成立.

因为在上单调递减，在上单调递增，且，

所以当时， 恒成立，因此.

2° 当时， 在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在上的值域为，即.

在（m，＋ ）上单调递减，值域为.

因为的值域为R，所以，即.

综合1°，2°可知，实数m的取值范围是.