Question

（2006•丰台区二模）已知数列{a_n}满足：a₁=b₁=1，且a_n+1=a_n（b_n+1-1），bn+1=

2+an

1+an

(n∈N*)．
（Ⅰ）求证数列{

1

an

}是等差数列，并求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=

(an+bb)n

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a_n+1=a_n（b_n+1-1），bn+1=

2+an

1+an

(n∈N*)可得a_n+1与a_n的关系，
（Ⅱ）先求数列{c_n}的通项公式，根据通项公式可知利用错位相减法可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：（本小题共14分）
解：（Ⅰ）由

an+1=an(bn+1-1) bn+1= 2+an 1+an

消去bn+1得an+1=

an

1+an

…（2分）
变形为  

1

an+1

-

1

an

=1所以{

1

an

}是首项为1，公差为1的等差数列．…（4分）
可得

1

an

=n⇒an=

1

n

bn=

2n-1

n

…（8分）
（Ⅱ）cn=

(an+bb)n

an

=n•2n，
T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹
将两式相减得Tn=2+(n-1)×2n+1…（14分）

点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及利用错位相减法求和，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．