Question

已知函数y=-

1

3

x³+bx²-（2b+3）x+2-b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是

b＜-1或b＞3

．

Answer 1

分析：先考虑命题“函数y=-

1

3

x³+bx²-（2b+3）x+2-b在R上不是单调减函数”非命题：“函数y=-

1

3

x³+bx²-（2b+3）x+2-b在R上是单调减函数”，即y′≤0在R上恒成立，则△=4b²-4（2b+3）≤0，解得-1≤b≤3．进而得出原命题的b的取值范围．

解答：解：y′=-x²+2bx-（2b+3），若y′≤0在R上恒成立，则△=4b²-4（2b+3）≤0，解得-1≤b≤3．
因此函数y=-

1

3

x³+bx²-（2b+3）x+2-b在R上不是单调减函数，则b＜-1或b＞3．
故答案为b＜-1或b＞3．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、通过求出原命题的非命题中的b的取值范围进而得到原命题中b的取值范围等基础知识与方法，属于中档题．