题目内容

（2012•浙江）已知a∈R，函数f（x）=4x3-2ax+a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2-a|＞0．
分析：（1）求导函数，再分类讨论：a≤0时，f′（x）≥0恒成立；a＞0时，f′（x）=12x2-2a=12（x-
a
6
）（x+
a
6
），由此可确定f（x）的单调区间；
（2）由于0≤x≤1，故当a≤2时，f（x）+|2-a|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2；当a＞2时，f（x）+|2-a|=4x3+2a（1-x）-2≥4x3+4（1-x）-2=4x3-4x+2，构造函数g（x）=2x3-2x+1，0≤x≤1，确定g（x）min=g（
3
3
）=1-
4
3
9
＞0，即可证得结论．
解答：（1）解：求导函数可得f′（x）=12x2-2a
a≤0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
a＞0时，f′（x）=12x2-2a=12（x-
a
6
）（x+
a
6
）
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-
a
6
），（
a
6
，+∞）；单调递减区间为（-
a
6
，
a
6
）；
（2）证明：由于0≤x≤1，故
当a≤2时，f（x）+|2-a|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2
当a＞2时，f（x）+|2-a|=4x3+2a（1-x）-2≥4x3+4（1-x）-2=4x3-4x+2
设g（x）=2x3-2x+1，0≤x≤1，∴g′（x）=6（x-
3
3
）（x+
3
3
）
 x  0  （0，
3
3
）		  
3
3
  （
3
3
，1）
 g′（x）   -   +
 g（x）      极小值  
∴函数g（x）在（0，
3
3
）上单调减，在（
3
3
，1）上单调增
∴g（x）min=g（
3
3
）=1-
4
3
9
＞0
∴当0≤x≤1时，2x3-2x+1＞0
∴当0≤x≤1时，f（x）+|2-a|＞0．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2012•浙江）已知i是虚数单位，则
3+i
1-i
=（　　）
（2012•浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（　　）
（2012•浙江）已知矩形ABCD，AB=1，BC=
2
．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（　　）
（2012•浙江）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．
（1）求X的分布列；
（2）求X的数学期望E（X）．
（2012•浙江）已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax3-2bx-a+b．
（Ⅰ）证明：当0≤x≤1时，
（i）函数f（x）的最大值为|2a-b|+a；
（ii）f（x）+|2a-b|+a≥0；
（Ⅱ）若-1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网