Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n＜a_n+1，设b_n=

an+1-an

an+1• an+1

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：
（Ⅰ）bn＜2(

1

an

-

1

an+1

)；
（Ⅱ）若数列{a_n}是公比为q且q≥3的等比数列，则S_n＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用作差法证明该不等式，作差后，把b_n=

an+1-an

an+1• an+1

代入，通分后进行因式分解，然后根据a_n＜a_n+1判断差式的符号；
（Ⅱ）写出等比数列{a_n}的通项公式，代入b_n=

an+1-an

an+1• an+1

后整理得到b_n=q-

n

2

(1-q-1)，利用等比数列求和得到S_n=(

1

q

+

1

q

)(1-

1

qn

)．由q≥3利用放缩法可证得S_n＜1．

解答：证明：（Ⅰ）由题意可知a_n＞0
∵bn-2(

1

an

-

1

an+1

)
=

an+1-an

an+1• an+1

-2(

1

an

-

1

an+1

)
=

an+1-an

an+1 an+1

-2

an+1 - an

an+1 • an

=

( an+1 - an )( an+1 • an +an-2an+1)

an+1• an+1 • an

．
又a_n＜a_n+1，∴

an+1

-

an

＞0，

an+1

•

an

＜an+1，

an+1

•

an

+an-2an+1＜0，
则

( an+1 - an )( an+1 • an +an-2an+1)

an+1• an+1 • an

＜0．
∴bn＜2(

1

an

-

1

an+1

)；
（Ⅱ）数列{a_n}是首项a₁=1，公比为q且q≥3的等比数列，
∴an=a1qn-1=qn-1．
∴bn=

an+1-an

an+1• an+1

=

qn-qn-1

q 3n 2

=q-

n

2

(1-q-1)．
S_n=b₁+b₂+…+b_n
=(1-q-1)(q-

1

2

+q-

2

2

+q-

3

2

+…+q-

n

2

)
=(1-q-1)•

q- 1 2 (1-q- n 2 )

1-q- 1 2

=(

1

q

+

1

q

)(1-

1

qn

)．
∵q≥3，∴0＜

1

q

+

1

q

≤

1

3

+

1

3

=

3 +1

3

＜1．
0＜1-

1

qn

＜1．
∴Sn=(

1

q

+

1

q

)(1-

1

qn

)＜1．

点评：本题是数列和不等式的综合题，训练了作差法证明不等式，考查了数列的递推式及等比数列的前n项和公式，考查了不等式的基本性质，是中档题．