Question

（2010•安徽模拟）已知数列{a_n}满足a_n-2a_n-1-2^n-1=0，（n∈N^*，n≥2），a₁=1．
（1）求证：数列{

an

2n

}是等差数列；
（2）若S_n=a₁+a₂+…+a_n，且S_n+2ⁿ＞100恒成立，求n的最小值．

Answer 1

分析：（1）由a_n-2a_n-1-2^n-1=0，知

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

，由此能够证明{

an

2n

}是等差数列．
（2）由（1）知

an

2n

=

1

2

+(n-1)×

1

2

，所以a_n=n•2^n-1，所以S_n=1•2°+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，由错位相减法能求出S_n=（n-1）•2ⁿ+1，由此能求出n的最小值．

解答：解：（1）a_n-2a_n-1-2^n-1=0，
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

，
∴{

an

2n

}是以

1

2

为首项，

1

2

为公差的等差数列．       （4分）
（2）由（1）：

an

2n

=

1

2

+(n-1)×

1

2

，
∴a_n=n•2^n-1（6分）
∴S_n=1•2°+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1①
则2S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ②
①-②，得-S_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1•(1-2n)

1-2

-n•2n
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1（9分）
由S_n+2ⁿ＞100，
即（n-1）•2ⁿ+1+2ⁿ＞100恒成立，
得n•2ⁿ+1＞100恒成立，
∵{n•2ⁿ}是单增数列，且4•2⁴+1=65，5•2⁵+1=161，
∴n_min=5（12分）

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．数列的性质和应用，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．