Question

设函数ht(x)=3tx-2t

3

2

，若有且仅有一个正实数x₀，使得h₇（x₀）≥h_t（x₀）对任意的正数t都成立，则x₀=（　　）

• A．5
• B．

  5

• C．3
• D．

  7

Answer 1

分析：构造函数g（t）=3tx0-2t

3

2

，则g′（t）=3x0-3t

1

2

，分析可得g（

x

2 0

）即为函数g（t）=3tx0-2t

3

2

的最大值，则可将已知化为

x

2 0

=7．

解答：解：令g（t）=3tx0-2t

3

2

-（21x0-2

73

），则g′（t）=3x0-3t

1

2

令g′（t）=0，则t=

x

2 0

，由此得t＜

x

2 0

，g′（t）＞0，t＞

x

2 0

，g′（t）＜0，
可得g（

x

2 0

）即为函数g（t）=3tx0-2t

3

2

的最大值，
若有且仅有一个正实数x₀，使得h₇（x₀）≥h_t（x₀）对任意的正数t都成立，
则g（7）为函数g（t）的最大值，且7是函数g（t）的唯一最大值
∴

x

2 0

=7
又∵x₀为正实数，
故x₀=

7

故选D

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，其中构造以t为自变量的新函数，并分析函数的单调性，进而将已知转化为

x

2 0

=7是解答的关键．