Question

如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．
（1）证明：△ABE∽△ADC；
（2）若△ABC的面积S=

1

2

AD•AE，求∠BAC的大小．

Answer 1

分析：（1）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理1更合适，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角．
（2）根据（1）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将△ABC的面积S=

1

2

AD•AE转化为S=

1

2

AB•AC，再结合三角形面积公式，不难得到∠BAC的大小．

解答：证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD，
可得∠BAE=∠CAD
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
所以∠AEB=∠ACD
故△ABE∽△ADC．
解：（2）因为△ABE∽△ADC，
所以

AB

AE

=

AD

AC

，
即AB•AC=AD•AE．
又S=

1

2

AB•ACsin∠BAC，
且S=

1

2

AD•AE，
故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．
则sin∠BAC=1，
又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC=90°．

点评：相似三角形有三个判定定理：判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似； 判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似；判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．在证明三角形相似时，要根据已知条件选择适当的定理．