题目内容

已知f（x）=（x-1）2，g（x）=4（x-1）．数列{an}中，对任何正整数n，等式（an+1-an）g（an）+f（an）=0都成立，且a1=2，当n≥2时，an≠1；设bn=an-1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设Sn为数列{nbn}的前n项和，Tn=Sn+
n•3n
4n-1
+
3n
4n-2
，求
lim
n→∞
Tn的值．
分析：（1）将an代入到函数g（x）、f（x）中对式子（an+1-an）g（an）+f（an）=0进行整理可得到（an-1）•（4an+1-3an-1）=0，
再由an≠1可得到4an+1-3an-1=0，即an+1=
3
4
an+
1
4
.再代入到bn+1=an+1-1中即可得到bn+1=
3
4
bn，从而得数列{bn}的通项公式．
（2）根据数列{bn}的通项公式可得到nbn=n(
3
4
)n-1、Sn=1+2•(
3
4
)1+3•(
3
4
)2++n•(
3
4
)n-1，再由错位相减法可求出Sn的值，经过整理可求出Tn=Sn+
n•3n
4n-1
+
3n
4n-2
的值，最后再取极限即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）∵（an+1-an）•4（an-1）+（an-1）2=0
∴（an-1）•（4an+1-3an-1）=0．
根据已知，an≠1∴4an+1-3an-1=0?an+1=
3
4
an+
1
4
.
∵b1=a1-1=1，
bn+1=an+1-1=
3
4
an+
1
4
-1=
3
4
(an-1)=
3
4
bn，
∴{bn}是b1=1，公比q=
3
4
的等比数列．
∴bn=(
3
4
)n-1
（Ⅱ）∵bn=(
3
4
)n-1，nbn=n(
3
4
)n-1
∴Sn=1+2•(
3
4
)1+3•(
3
4
)2++n•(
3
4
)n-1①
3
4
Sn=
3
4
+2•(
3
4
)2+3•(
3
4
)3++(n-1)•(
3
4
)n-1+n•(
3
4
)n②
①-②得
1
4
Sn=1+
3
4
+(
3
4
)2+(
3
4
)3+…+(
3
4
)n-1-n•(
3
4
)n=
1-(
3
4
)n
1-
3
4
-n•(
3
4
)n
∴Sn=16-4（n+4）(
3
4
)n
而Tn=Sn+
n•3n
4n-1
+
3n
4n-2
=16
∴
lim
n→∞
Tn=16
点评：本题主要考查数列通项公式的求法和数列求和的错位相减法以及求极限的方法．考查综合运算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知f （x）=sin （x+
π
2
），g （x）=cos （x-
π
2
），则下列命题中正确的是（　　）
A、函数y=f（x）•g（x）的最小正周期为2π
B、函数y=f（x）•g（x）是偶函数
C、函数y=f（x）+g（x）的最小值为-1
D、函数y=f（x）+g（x）的一个单调增区间是[-
3π
4
，
3π
4
]
已知f（x）=
1，x＜0
2，x≥0
，g（x）=
3f(x-1)-f(x-2)
2
．
（1）当1≤x＜2时，求g（x）；
（2）当x∈R时，求g（x）的解析式，并画出其图象；
（3）求方程xf[g（x）]=2g[f（x）]的解．
已知f （x）=2sin（x+
θ
2
）cos（x+
θ
2
）+2
3
cos2（x+
θ
2
）-
3
．
（1）化简f （x）的解析式；
（2）若0≤θ≤π，求θ使函数f （x）为偶函数；
（3）在（2）成立的条件下，求满足f （x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若数学公式，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间数学公式上的值域为数学公式，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
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（Ⅲ）若，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间上的值域为，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

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