Question

【题目】设，分别是椭圆的左，右焦点，两点分别是椭圆的上，下顶点，是等腰直角三角形，延长交椭圆于点，且的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆上异于的动点，直线与直分别相交于两点，点，求证：的外接圆恒过原点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据的周长为，利用定义可解得，再根据是等腰直角三角形得到即可.

（2）设，根据直线与的斜率之积为，设直线的斜率为，则直线，，然后由，可得的坐标，同理得到的坐标，再利用中垂线定理，求得圆心E，验证即可.

（1）∵的周长为，由定义可知，，，

∴，∴，

又∵是等腰直角三角形，且，∴，

∴椭圆的方程为；

（2）设，则，

∴直线与的斜率之积为，

设直线的斜率为，则直线，，

由，可得，同理，

∴线段与的中垂线交点，

又，

，

∴，

即共圆，

∴故的外接圆恒过定点