Question

（本题满分12分）     已知函数.

(Ⅰ) 求f ¹(x)；

(Ⅱ) 若数列{a_n}的首项为a₁=1，(nÎN₊)，求{a_n}的通项公式a_n；

(Ⅲ) 设b_n=a_n+1²+a_n+2²+¼+a_2n+1²，是否存在最小的正整数k，使对于任意nÎN₊有b_n<成立. 若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

解析：（Ⅰ）∵， ∴   

由y=解得：           

 ∴       ………………………………………………（3分） 

（Ⅱ）由题意得：     

 ∴                   

∴{}是以=1为首项，以4为公差的等差数列.    ∴， 

 ∴.          ………………………………………………（7分）

（Ⅲ）∴

则

∴

∴，∴ {b_n}是一单调递减数列.      

∴，要使，则 ，

∴

又kÎN^*  ，∴k³8 ，∴k_min=8

即存在最小的正整数k=8，使得     …………………………………………（12分）