Question

已知抛物线C₁：x²=y，圆C₂：x²+（y-2）²=1的圆心为M，点P在抛物线C1上，设点P坐标（x，x²），且x≠0，x≠±1，过点P作圆C₂的两条切线，并且分别交抛物线C₁于A、B两点．
（1）设PA、PB的斜率分别为k₁、k₂，试求出k₁+k₂关于x的表达式；
（2）若时，求x的值；
（3）若x=-2，求证：直线AB与圆C₂相切．

Answer 1

【答案】分析：（1）设过点P的切线方程：，由与圆C₂相切，知，由此能求出k₁+k₂关于x的表达式．
（2）设，，（x₁≠x₂）由，得，由此能求出当时，x的值；
（3）由k_AB=x₁+x₂，知当x=-2时，，k₁k₂=1，由此能够证明AB与圆C₂相切．
解答：解：（1）由于x≠±1，知过P作圆M的切线，切线斜率存在，
设过点P的切线方程：，
即与圆C₂相切，
故有：，
整理得：．
依题意，k₁，k₂是上述方程的两根，
故有．…（4分）
（2）设，，（x₁≠x₂）
由，
得，
又方程有一根为x，
则另一根为k-x，
∴x₁=k₁-x，x₂=k₂-x，
∴，
由（1）知，
又x≠0，所以，，
∴，
解得，
∴…（9分）
（3）证明：由（1），（2）知k_AB=x₁+x₂，
当x=-2时，，k₁k₂=1，
∴
=，
而，
即，
∴AB方程：4x-3y+1=0，
而圆C₂的圆心M（0，2），
点M到AB的距离是，
圆C₂的半径为1，
∴AB与圆C₂相切．…（13分）
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线和圆的简单性质，根与系数的关系，点到直线的距离公式等基本知识．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．