Question

对于已知的x，y，记f（x，y）=min{27^-x，27^x-y，27^y-1}，当x∈（0，1），y∈（0，1）时，f（x，y）的最大值为

1

3

．

Answer 1

分析：花括号内给出的三个数的底数相同，以指数为突破口，先由-x小于等于x-y，且-x小于等于y-1求出x的范围，并求出最小值27^-x的最大值，然后讨论当0＜x＜

1

3

时，不论另外两个数哪一个最小，其最大值不会超过

1

3

．

解答：解：若

-x≤x-y① -x≤y-1②

，由①得y≤2x，由②得y≥1-x，此时1-x≤2x，所以x≥

1

3

．
此时f（x，y）=min{27^-x，27^x-y，27^y-1}=27^-x≤27-

1

3

=

1

3

，
当0＜x＜

1

3

时，若y-1＜x-y，则y＜

1+x

2

，y-1＜

x

2

-

1

2

＜

1

6

-

1

2

=-

1

3

，此时27y-1＜27-

1

3

=

1

3

，
若x-y＜y-1，则y＞

1

2

+

x

2

，x-y＜-

1

2

+

x

2

＜-

1

2

+

1

6

=-

1

3

，此时27x-y＜27-

1

3

=

1

3

．
综上，f（x，y）的最大值为

1

3

．
故答案为

1

3

．

点评：本题综合考查了运用函数思想解决问题的能力，考查了函数的值域，该题运用抽象思维能力较强，属中高档题．