Question

【题目】已知函数，，为自然对数的底数.

（1）当时，证明：函数只有一个零点；

（2）若函数存在两个不同的极值点，，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

(1)对函数求导得到函数的单调性，进而得到函数的最值，发现函数最大值等于0，从而得证；（2）原题等价于导函数存在两个变号零点，对导函数求导研究导函数的单调性，和图像性质，使得导函数有两个零点，进而得到结果.

（1）由题知：，

令，，

当，，所以在上单调递减.

因为，所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，故只有一个零点.

（2）由（1）知：不合题意，

当时，因为，；，；

又因为，所以；

又因为，

因为函数，，，

所以，即，

所以存在，满足，

所以，；，；，；

此时存在两个极值点，0，符合题意.

当时，因为，；，；所以；

所以，即在上单调递减，

所以无极值点，不合题意.

综上可得：.