Question

（2008•闵行区二模）已知{a_n}是等差数列，记b_n=a_na_n+1a_n+2（n为正整数），设S_n为{b_n}的前n项和，且3a₅=8a₁₂＞0，则当S_n取最大值时，n=

16

．

Answer 1

分析：由3a5=8a12＞0，知3a5=8（a5+7d），a5=-56d5＞0，所以d＜0．由a16=a5+11d=-d5＞0，a17=a5+12d=4d5＜0，知a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，由此能够推导出Sn中S16最大．

解答：解：由b_n=a_na_n+1a_n+2且3a₅=8a₁₂＞0，
所以，3a₅=8（a₅+7d）
所以，a5= -

56d

5

＞0，即d＜0
因为a₁₆=a₅+11d=-

d

5

＞0，a17=a5+12d=

4d

5

＜0
所以，a₁＞a₂＞…＞a₁₆＞0＞a₁₇
所以，b₁＞b₂＞…＞b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈
因为，b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0
a15=a5+10d=-

6d

5

＞0a18=a5+13d=

9d

5

＜0a₁₅＜-a₁₈
所以，b₁₅＞-b₁₆即b₁₅+b₁₆＞0
所以，S₁₆＞S₁₄
所以S₁₆最大．
故答案为：16

点评：本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，注意数列综合知识的合理运用，恰当地进行等价转化．