Question

在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量

m

=(

3

，-2sinB)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

∥

n

，B为锐角．
（1）求角B的大小；
（2）设b=2，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

Answer 1

（1）由

m

∥

n

得

3

cos2B+2sinB•(2cos2

B

2

-1)=0
即sin2B=-

3

cos2B．即tan2B=-

3

．
又∵B为锐角，∴2B∈（0，π）．
∴2B=

2π

3

，∴B=

π

3

；

（2）∵B=

π

3

，b=2，
∴由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

得a²+c²-ac-4=0．
又∵a²+c²≥2ac，代入上式得ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立）．
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

（当且仅当a=c=2时等号成立）．
∴△ABC面积的最大值为

3

．