题目内容
已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）同时满足如下三个条件：①对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1
（1）计算f（9），f(
)的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）有集合A={（x0，y0）|f（x02+1）-f（5y0）-2＞0，x0，y0∈（0，+∞）}，B={(x0，y0)|f(
)+
=0，x0，y0∈(0，+∞)}．问：是否存在（x0，y0）使（x0，y0）∈A∩B．
②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1
（1）计算f（9），f(
| 3 |
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）有集合A={（x0，y0）|f（x02+1）-f（5y0）-2＞0，x0，y0∈（0，+∞）}，B={(x0，y0)|f(
| x0 |
| y0 |
| 1 |
| 2 |
分析：（1）利用x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），令x=3，y=3，代入可得f（9），令x=
，y=
，代入可得f（
）；
（2）利用函数单调性的定义，设任意x，y∈（0，+∞），且x＜y，通过作差，证明f（x）＞f（y）即可证明f（x）在（0，+∞）上为减函数
（3）先利用已知计算f（1）=0，f（
）=1，f（
）=2，再利用f（xy）=f（x）+f（y）和函数单调性，将不等式f（x02+1）-f（5y0）-2＞0等价转化为x02+1＜
y0），将方程f(
)+
=0转化为
=1，二者联立判断不等式是否有正解即可
| 3 |
| 3 |
| 3 |
（2）利用函数单调性的定义，设任意x，y∈（0，+∞），且x＜y，通过作差，证明f（x）＞f（y）即可证明f（x）在（0，+∞）上为减函数
（3）先利用已知计算f（1）=0，f（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
| 5 |
| 9 |
| x0 |
| y0 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 3y0 |
解答：解：（1）∵对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）∴f（9）=2f（3）=-2；f（3）=2f（
）=-1，∴f（
）=-
（2）设任意x，y∈（0，+∞），且x＜y，且
=t （t＞1）
则f（x）-f（y）=f（x）-f（tx）=f（x）-f（x）-f（t）=-f（t）
∵当x＞1时，f（x）＜0，∴-f（t）＞0
∴f（x）＞f（y）
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
（3）依题意可得f（1）=0，f（
）=1，f（
）=2
f（x02+1）-f（5y0）-2＞0?f（x02+1）＞f（5y0）+2=f（5y0）+f（
）=f（
y0）?x02+1＜
y0）①
f(
)+
=0?f(
)+f(
)=0?f（
）=f（1）?
=1②
将②代入①得27x02-5
x0+27＜0
此不等式无解
故不存在（x0，y0）使（x0，y0）∈A∩B
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（2）设任意x，y∈（0，+∞），且x＜y，且
| y |
| x |
则f（x）-f（y）=f（x）-f（tx）=f（x）-f（x）-f（t）=-f（t）
∵当x＞1时，f（x）＜0，∴-f（t）＞0
∴f（x）＞f（y）
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
（3）依题意可得f（1）=0，f（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
f（x02+1）-f（5y0）-2＞0?f（x02+1）＞f（5y0）+2=f（5y0）+f（
| 1 |
| 9 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 9 |
f(
| x0 |
| y0 |
| 1 |
| 2 |
| x0 |
| y0 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3y0 |
| ||
| 3y0 |
将②代入①得27x02-5
| 3 |
此不等式无解
故不存在（x0，y0）使（x0，y0）∈A∩B
点评：本题考察了抽象函数表达式的运用，函数单调性的定义运用，及二者的综合应用，解题时要运用转化化归的思想方法，善于将抽象问题具体化．
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