Question

【题目】已知函数．

（1）若，且在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为1？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在实数，的值为.

【解析】

试题分析：（1），由于函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在上恒成立，转化为在上恒成立，根据函数单调性可知在区间上单调递增，所以，因此；（2）假设存在实数使得在上最小值为，那么一定要满足，由此限定出，又根据第（1）问时，函数在上单调递增，但是不合题意，所以，令得的增区间为；令得的减区间为，于是，化简整理可得，即，于是设，则上式即为，构造，通过判断函数的单调性来计算时的值，然后求出的值.

试题解析：（1），

由已知在时恒成立，即恒成立，

分离参数得，右边，所以正实数的取值范围为．

（2）假设存在这样的实数，则在时恒成立，且可以取到等号，故，即，故，解得．

从而这样的实数必须为正实数，当时，由上面的讨论知在上递增，

，此时不合题意，故这样的必须满足，

此时：令得的增区间为；令得的减区间为．

故，

整理得，

即，

设，

则上式即为，构造，则等价于，

由于为增函数，为减函数，故为增函数，

观察知，故等价于，与之对应的，

综上符合条件的实数是存在的，即．