Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是AB=2，BC=

2

的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：BC⊥侧面PAB；
（Ⅱ）证明：侧面PAD⊥侧面PAB；
（Ⅲ）求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据平面与平面垂直的性质定理可证得BC⊥侧面PAB；
（Ⅱ）欲证侧面PAD⊥侧面PAB，根据面面垂直的判定定理可知在侧面PAD内一直线与侧面PAB垂直，而根据题意可得AD⊥侧面PAB；
（Ⅲ）在侧面PAB内，过点P做PE⊥AB．垂足为E，连接EC，根据线面所成角的定义可知∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角，在Rt△PEC中，求出此角即可．

解答：（Ⅰ）证：∵侧面PAB垂直于底面ABCD，
且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB，
在矩形ABCD中，BC⊥AB，∴BC⊥侧面PAB．（3分）
（Ⅱ）证：在矩形ABCD中，AD∥BC，BC⊥侧面PAB，∴AD⊥侧面PAB．（5分）
又AD在平面PAD上，所以，侧面PAD⊥侧面PAB（6分）
（Ⅲ）解：在侧面PAB内，过点P做PE⊥AB．垂足为E，连接EC，
∵侧面PAB与底面ABCD的交线是AB，PE⊥AB．
∴PE⊥底面ABCD．于是EC为PC在底面ABCD内的射影，（8分）
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角，（10分）
在△PAB和△BEC中，易求得PE=

3

，EC=

3

，
在Rt△PEC中，∠PCE=45°（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及平面与平面垂直的判定和直线与平面所成的角，属于基础题．