Question

已知函数f（x）满足f（-x）=f（x），当a，b∈（-∞，0）时总有

f(a)-f(b)

a-b

＞0(a≠b)，若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先根据条件得到函数的奇偶性，再结合条件求出函数在（0，+∞）上的单调性，利用f（x）=f（|x|）将f（m+1）＞f（2m）转化成f（|m+1|）＞f（|2m|）进行求解，最后根据单调性建立关系式求解即可．

解答：解：∵函数f（x）满足f（-x）=f（x），
∴函数f（x）是偶函数
又∵当a，b∈（-∞，0）时总有

f(a)-f(b)

a-b

＞0(a≠b)，
∴函数f（x）在（-∞，0）上单调递增函数
根据偶函数的性质可知函数f（x）在（0，-∞）上单调递减函数
∵f（m+1）＞f（2m），
∴f（|m+1|）＞f（|2m|），即|m+1|＜|2m|，
解得：m∈（-∞，-

1

3

）∪（1，+∞）
故答案为：（-∞，-

1

3

）∪（1，+∞）

点评：本题主要考查了函数的单调性的应用，以及函数奇偶性的应用，属于基础题．