Question

设函数其中

（１）若=0，求的单调区间；

（2）设表示与两个数中的最大值，求证：当0≤x≤1时，||≤．

 

Answer 1

【答案】

（1），函数f(x)的单调增区间是(-∞，)及(1，+∞) ．单调减区间是

（2）根据导数判定单调性，进而得到最值，然后来证明结论。

【解析】

试题分析：解：(1)由=0，得a=b．

当时，则，不具备单调性   ..2分

故f(x)= ax³－2ax²+ax+c．

由=a(3x²－4x+1)=0，得x₁=，x₂=1．  3分

列表：

x	(-∞，)		(，1)	1	(1，+∞)
	+	0	-	0	+
f(x)	增	极大值	减	极小值	增

由表可得，函数f(x)的单调增区间是(-∞，)及(1，+∞) ．单调减区间是…5分

（2）当时，=

若　，

若，或，在是单调函数，≤≤，或

≤≤   7分

所以，≤

当时，=3ax²-2(a+b)x+b=3．

①当时，则在上是单调函数，

所以≤≤，或≤≤，且+=a>0．

所以．    9分

②当，即-a＜b＜2a，则≤≤．

(i) 当-a＜b≤时，则0＜a+b≤．

所以 ＝＝≥＞0．

所以 ．    11分

(ii) 当＜b＜2a时，则＜0，即a²+b²－＜0．

所以=＞＞0，即＞．

所以 ．    13分

综上所述：当0≤x≤1时，||≤．   14分

考点：导数的运用

点评：主要是对于导数再研究函数中的运用，通过判定单调性，极值来得到最值，进而求解，属于中档题。