题目内容

设函数f（x）= $数学公式$ ，其中向量 $数学公式$ =（2cosx，1）， $数学公式$ =（cosx， $数学公式$ sin2x），x∈R．
（1）若函数f（x）=1- $数学公式$ ，且x∈[- $数学公式$ ， $数学公式$ ]，求x；
（2）求函数y=f（x）的单调增区间；
并在给出的坐标系中画出y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

解：（1）依题设得函数f（x）=2cos²x+ $\text{[math]}$ sin2x=1+2cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1，
由 2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）=1=1- $\text{[math]}$ ，∴sin（2x+ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ．∵- $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，∴2x+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，x=- $\text{[math]}$ ．
（2）由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，
得函数单调增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]．

x	0	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	π
y	2	3	2	0	-1	0	2

分析：（1）化简函数的解析式为 f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1，由f（x）=1- $\text{[math]}$ ，解得sin（2x+ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ，结合x的
范围，求出x值．
（2）由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得x的范围即得单调增区间，有五点法做出其图象．
点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，正弦函数的单调性，以及用五点法作y=Asin（ωx+∅）的简图，化简函数
f（x）的解析式是解题的突破口．