Question

设等差数列{a_n}的第10项为23，第25项为-22，求：
（1）数列{a_n}的通项公式；    
（2）数列{a_n}前n项的绝对值之和T_n．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，利用等差数列的通项公式可知

a10=a1+9d=23 a25=a1+24d=-22

，解得即可．
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n．
由a_n≥0，解得n≤17

2

3

，a_n＜0，n＞17

2

3

．，所以此数列的前17项均为正数，从第18项开始均为负数．

所以当n≤17时，利用等差数列的前n项和公式可得T_n=a₁+a₂+…+a_n=50n+

n(n-1)

2

×(-3)．
当n＞17时，T_n=T₁₇-（a₁₈+a₁₉+…+a_n）=S₁₇-（S_n-S₁₇）=2S₁₇-S_n，代入即可．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由已知可知

a10=a1+9d=23 a25=a1+24d=-22

，解得

a1=50 d=-3

．
∴a_n=50+（n-1）×（-3）=-3n+53．
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n．
由a_n≥0，解得n≤17

2

3

，a_n＜0，n＞17

2

3

．，所以此数列的前17项均为正数，从第18项开始均为负数．
所以当n≤17时，T_n=a₁+a₂+…+a_n=50n+

n(n-1)

2

×(-3)=-

3

2

n2+

103

2

n．
当n＞17时，T_n=T₁₇-（a₁₈+a₁₉+…+a_n）
=S₁₇-（S_n-S₁₇）
=2S₁₇-S_n
=2×(-

3

2

×172+

103

2

×17)-(-

3

2

n2+

103

2

n)
=

3n2

2

-

103n

2

+884．

点评：熟练掌握等差数列的通项公式、前n项和公式以及含绝对值符号的数列求和方法等是解题的关键．