Question

定义平面向量之间的两种运算“⊙”、“•”如下：对任意的

a

=(m，n)，

b

=(p，q)，令

a

⊙

b

=mq-np，

a

•

b

=mp+nq．下面说法错误的是（　　）

• A．若

  a

  与

  b

  共线，则

  a

  ⊙

  b

  =0
• B．

  a

  ⊙

  b

  =

  b

  ⊙

  a

• C．对任意的λ∈R，有（λ

  a

  ）⊙

  b

  =λ（

  a

  ⊙

  b

  ）
• D．（

  a

  ⊙

  b

  ）+（

  a

  ?

  b

  ）²=|

  a

  |2|

  b

  |2

Answer 1

分析：根据题意对选项逐一分析．若

a

与

b

共线，则mq=np=0，即

a

⊙

b

=0，故A正确；
因为

b

⊙

a

=pn-qm，与令

a

⊙

b

=mq-np，对照选项B错误，
由于λ为实数，有（λ

a

）⊙

b

=λmq-λnp，λ（

a

⊙

b

）=λmq-λnp，故C正确．
由于（

a

⊙

b

）+（

a

•

b

）²=（mq-np）²+（mp+nq）²=（m²+n²）（p²+q²）=|

a

|2|

b

|2，故D正确．

解答：解：若

a

与

b

共线，则mq=np=0，即

a

⊙

b

=0，故A正确；
以定义得出因为

b

⊙

a

=pn-qm，与令

a

⊙

b

=mq-np，对照选项B错误
由于λ为实数，有（λ

a

）⊙

b

=λmq-λnp，λ（

a

⊙

b

）=λmq-λnp，故C正确．
由于（

a

⊙

b

）+（

a

•

b

）²=（mq-np）²+（mp+nq）²=（m²+n²）（p²+q²）=|

a

|2|

b

|2，故D正确．
故选B．

点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，运算“⊙”的定义，属于中档题．在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力