Question

过双曲线

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)的右焦点F，在第一象限内作双曲线渐近线的垂线，垂足为D，若FD中点在双曲线上，则此双曲线的离心率为（　　）

• A．

  2

  +1
• B．2
• C．

  3

• D．

  2

Answer 1

分析：依题意可求得|FD|=b，通过第一象限内的双曲线渐近线方程与其垂线的方程求得点D的坐标，从而可得FD中点M的坐标，利用双曲线的第二定义即可求得其离心率．

解答：解：由题意得，该双曲线的右焦点F（c，0），
第一象限内的双曲线的渐近线l的方程为：y=

b

a

x，即bx-ay=0，
设点F 到l的距离为d，则d=

bc

a2+b2

=b，即|FD|=b，
又直线FD⊥l，
∴直线FD的方程为：y=-

a

b

（x-c）
由

y= b a x y=- a b (x-c)

得D（

a2

c

，

ab

c

），设FD的中点为M，由中点坐标公式可得M（

a2+c2

2c

，

ab

2c

），
又FD中点M在双曲线上，该双曲线的右准线方程为：x=

a2

c

，点M 到右准线的距离d^′=|

a2+c2

2c

-

a2

c

|，而|MF|=

1

2

|FD|=

1

2

b，
∴由双曲线的第二定义可得e=

|MF|

| a2+c2 2c - a2 c |

=

1 2 b

b2 2c

=

c

b

，又e=

c

a

，
∴a=b．
∴e=

c

a

=

2a2

a

=

2

．
故选D．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线间的距离与中点坐标公式，考查双曲线的第二定义，考查分析转化与综合应用的能力，属于难题．