Question

已知△ABC中，A、B、C分别为三个内角，a、b、c为所对边，2

2

（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB，△ABC的外接圆半径为

2

，
（1）求角C；
（2）求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知等式的右边，整理后再利用余弦定理变形，求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，利用三角形的面积公式列出关系式，利用正弦定理化简后，将sinC的值及表示出的B代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可得出面积的最大值．

解答：解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：2

2

（sin²A-sin²C）=2

2

sinB（a-b），
整理得：a²-c²=ab-b²，即a²+b²-c²=ab，
∵c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-c²=2abcosC，
∴2abcosC=ab，即cosC=

1

2

，
则C=

π

3

；
（2）∵C=

π

3

，∴A+B=

2π

3

，即B=

2π

3

-A，
∵

a

sinA

=

b

sinB

=2

2

，即a=2

2

sinA，b=2

2

sinB，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

absin

π

3

=

1

2

×2

2

sinA×2

2

sinB×

3

2

=2

3

sinAsinB=2

3

sinAsin（

2π

3

-A）=2

3

sinA（

3

2

cosA+

1

2

sinA）
=3sinAcosA+

3

sin²A=

3

2

sin2A+

3

2

（1-cos2A）
=

3

2

sin2A-

3

2

cos2A+

3

2

=

3

sin（2A-

π

6

）+

3

2

，
则当2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

时，S_△ABCmax=

3 3

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．