Question

数列{a_n}中，an=

1 5n (n为奇数) - 2 5n (n为偶数)

，S_2n=a₁+a₂+…+a_2n，则

lim

n→∞

S2n=

 

．

Answer 1

分析：根据通项公式的特点，奇数项和偶数项构成等比数列，分别求出奇数项和与偶数项和，然后加在一起求s_2n，再求极限．

解答：解：∵an=

1 5n (n为奇数) - 2 5n (n为偶数)

∴当数列的项数为2n时，奇数项和偶数都是n项，
∴奇数项和s₁=a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1=

1

5

+

1

53

+

1

55

+…+

1

52n-1

=

1 5 (1- 1 52n )

1- 1 25

=

5

24

(1-

1

52n

)
偶数项和s₂=a₂+a₄+…+a_2n=-2（

1

52

+

1

54

+…+

1

52n

）
=-2×

1 25 (1- 1 52n )

1-  1 25

=-

1

12

（1-

1

52n

）
∴s_2n=s₁+s₂=

1

8

（1-

1

52n

），则

lim

n→∞

s_2n=

1

8

故答案为：

1

8

点评：由通项公式的特点将该数列分成两个等比数列，然后分别求和，也成为分组求和法，即把非特殊数列的求和问题化为等差（等比）数列的求和问题．