题目内容

如图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°，AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3．

(1)设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；

(2)求AB与平面AA1CC1所成的角的大小；

(3)求此几何体的体积．

答案：
解析：

　　解法一：

　　（1）证明：作交于，连．

　　则，

　　因为是的中点，

　　所以．

　　则是平行四边形，因此有，

　　平面，且平面

　　则面;

　　（2）解：如图，过作截面面，分别交，于，，

作于，

　　因为平面平面，则面．

　　连结，则就是与面所成的角．

　　因为，，所以．

　　与面所成的角为;

　　（3）因为，所以．

　　．

　　．

　　所求几何体的体积为．

　　解法二：

　　（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，因为是的中点，所以，，

　　易知，是平面的一个法向量．

　　由且平面知平面;

　　（2）设与面所成的角为．

　　求得，．

　　设是平面的一个法向量，则由得，

　　取得：．

　　又因为

　　所以，，则．

　　所以与面所成的角为;

　　（3）同解法一


练习册系列答案
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（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；
（2）求二面角B-AC-A1的大小；
（3）求此几何体的体积．
如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3
（Ⅰ）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求二面角B-AC-A1的大小．
如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=B1C1=2，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3．
（I）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；
（II）求此几何体的体积；
（Ⅲ）点F为AA1上一点，若BF⊥平面COB1，求AF的长．

如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视图中的侧视图、俯视图.在直观图中，是的中点.又已知侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.

(1)求证:EM∥平面ABC;

(2)试问在棱DC上是否存在点N,使NM⊥平面? 若存在,确定

点N的位置;若不存在,请说明理由.

 

如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视图中的侧视图、俯视图.在直观图中,是的中点.又已知侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.

(Ⅰ)求证:EM∥平面ABC;

(Ⅱ)求出该几何体的体积.

 

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