Question

设x、y满足log₉x=log₁₂y=log₁₆（3x+2y），求

y

x

的值．

Answer 1

分析：由于x、y满足log₉x=log₁₂y=log₁₆（3x+2y），可知：x＞0，y＞0，3x+2y＞0．设log₉x=log₁₂y=log₁₆（3x+2y）=k，利用指数式与对数式的互化可得：x=9^k，y=12^k，2x+3y=16^k．于是2×9^k+3×12^k=16^k．化为[(

4

3

)k]2-3•(

4

3

)k-2=0，利用一元二次方程的求根公式即可得出．

解答：解：∵x、y满足log₉x=log₁₂y=log₁₆（3x+2y），
∴x＞0，y＞0，3x+2y＞0．
设log₉x=log₁₂y=log₁₆（3x+2y）=k，
则x=9^k，y=12^k，2x+3y=16^k．
∴2×9^k+3×12^k=16^k．
化为[(

4

3

)k]2-3•(

4

3

)k-2=0，解得(

4

3

)k=

3± 17

2

，其中

3- 17

2

＜0，应舍去．
∴

y

x

=

12k

9k

=(

4

3

)k=

3+ 17

2

．

点评：本题考查了指数式与对数式的互化、一元二次方程的解法等基础知识与基本方法，属于基础题．