Question

设x，y满足约束条件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0 y≥0

，若目标函数z=

1

a

x+

1

b

y(a＞0，b＞0)的最大值为2，则a+b的最小值为（　　）

• A．

  9

  2

• B．

  1

  4

• C．

  2

  9

• D．4

Answer 1

分析：画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数的最大值为2，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．

解答：解：满足约束条件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0 y≥0

的区域是一个四边形，
如图，4个顶点是（0，0），（0，2），（

1

2

，0），（1，4），
由图易得目标函数在（1，4）取最大值2，即

1

a

+

4

b

=2，
∴a+b=

1

2

（a+b）（

1

a

+

4

b

）=

1

2

（5+

b

a

+

4a

b

）
∵a＞0，b＞0，∴

b

a

+

4a

b

≥2

b a • 4a b

=4
当且仅当

b

a

=

4a

b

时，

b

a

+

4a

b

的最小值问4
∴a+b的最小值为

9

2

故选A．

点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．