Question

【题目】已知a＞0，函数f（x）= +|lnx﹣a|，x∈[1，e2]．
（1）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）若f（x）≤ 恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=3时，f（x）= +|lnx﹣3|= ﹣lnx+3，x∈[1，e2]；

故f（3）=1﹣ln3+3=4﹣ln3，

f′（x）=﹣ ﹣ ，f′（3）=﹣ ﹣ =﹣ ；

故曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y﹣（4﹣ln3）=﹣ （x﹣3），

即2x+3y﹣18+3ln3=0

（2）解：由题意得， +|lnx﹣a|≤ ，

当a≥2时，上式可化为 ﹣lnx+a≤ 恒成立，

且 ﹣lnx+a在[1，e2]上是减函数，

故只需使a+a≤ ，无解；

当0＜a＜2时，

f（x）= ，

故f（x）在[1，ea]上是减函数，在[ea，e2]上是增函数，

故只需使 ；

解得 ≤a≤

【解析】（1）当a=3时，化简f（x）= +|lnx﹣3|= ﹣lnx+3，x∈[1，e2]；从而求导，再求切线方程；（2）由题意得， +|lnx﹣a|≤ ，分a≥2与0＜a＜2讨论求函数的最值，从而化恒成立问题为最值问题即可．
【考点精析】通过灵活运用函数的最大(小)值与导数，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．