Question

已知函数f（x）=log₂（1-x），g（x）=log₂（1+x），令F（x）=f（x）-g（x）．
（1）求F（x）的定义域；
（2）判断函数F（x）的奇偶性，并予以证明；
（3）若a，b∈（-1，1），猜想F（a）+F（b）与F（

a+b

1+ab

）之间的关系并证明．

Answer 1

分析：（1）由题意可知，

1-x＞0 1+x＞0

，由此求得定义域．
（2）定义域关于原点对称，且F（-x）=-F（x），所以F（x）为奇函数．利用对数的运算性质化简F（a）+F（b）和F（

a+b

1+ab

）的解析式，从而得到结论．

解答：解：（1）由题意可知，

1-x＞0 1+x＞0

，求得定义域为（-1，1）．--------（3分）
（2）定义域关于原点对称，且F（-x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）=g（x）-f（x）=-F（x），
所以F（x）为奇函数．-------（7分）
（3）当 x∈（-1，1）时，F（x）=log2

1-x

1+x

，
F（a）+F（b）=log2

1-a

1+a

+log2

1-b

1+b

=log2

(1-a)(1-b)

(1+a)(1+b)

=log2

1+ab-a-b

1+ab+a+b

．
F（

a+b

1+ab

）=log2

1- a+b 1+ab

1+ a+b 1+ab

=log2

1+ab-a-b

1+ab+a+b

．-----（11分）
所以 F（a）+F（b）与F（

a+b

1+ab

）相等．-------（12分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，对数的运算性质的应用，属于中档题．