Question

△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

（I）求角A的大小；
（II）若f（x）=2cos²（x+A）+cos（2x-2A），求y=f（x）的最小正周期与单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）由

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

，得

a-c

b-c

=

b

a+c

，即a²=b²+c²-bc，由余弦定理，得 cosA=

1

2

，可得A的值．
（II）利用二倍角公式化简f（x）的解析式为1-cos2x，从而求出周期，求出cos2x的单调减区间，即为函数f（x）的单调递增区间．

解答：解：：（I）由

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

，得

a-c

b-c

=

b

a+c

，即a²=b²+c²-bc，由余弦定理，得 cosA=

1

2

，
又角A是△ABC的一个内角，∴A=

π

3

．
（II）∵f（x）=2cos²（x+A）+cos（2x-2A）=1+cos（2x+2A）+cos（2x-2A）=1-cos2x，
故函数的最小正周期为

2π

2

=π．
由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，可得 kπ≤x≤kπ+

π

2

，k∈z，故单调增区间为[kπ，kπ+

π

2

]，k∈z．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，余弦函数的单调性，求出角A的值，是解题的关键．