Question

【题目】 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示，为的两个端点，测得点到的距离分别为5千米和40千米，点到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，假设曲线符合函数（其中为常数）模型．

（1）求的值；

（2）设公路与曲线相切于点，的横坐标为.

①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；

②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①；②当 时，公路 的长度最短，最短长度为千米.

【解析】

试题分析：（1）由题意，可知点，的坐标，代入函数可求解得到；（2）①设切点为，根据导数的几何意义求得切线方程，并且切线与，轴分别于，点，求得点的坐标,并表示，②，设，根据导数判断函数的单调性，求定义域内的最值.

试题解析：（1）由题意知，点，的坐标分别为，.

将其分别代入，得，解得

（2）①由⑴得，则点的坐标为，

∵，∴切线的方程为，

设曲线在点处的切线交，轴分别于，点，则，，

∴

②设，则，令解得，

当时，，是减函数；

当时，，是增函数；

从而，当 时，函数有极小值，也是最小值.

∴，∴.

答：当 时，公路 的长度最短，最短长度为千米