题目内容
已知函数f（x）=
-x（0＜x＜
）．（1）求f（x）的导数f′（x）；
（2）求证：不等式sin3x＞x3cosx在（0，
]上恒成立；（3）求g（x）=
-
（0＜x≤
）的最大值．
【答案】分析：（1）利用求导公式和导数的运算法则求解该函数的导函数，注意复合函数导数法则的运用；
（2）通过构造函数，研究构造的函数的导函数完成该不等式的证明问题，注意发挥导数的工具作用；
（3）利用（2）的结论完成该函数最值的求解，注意发挥函数单调性与最值的联系作用．
解答：解：（1）根据求导的运算法则得出f′（x）=
x+
sin2x
x-1；
（2）由（1）知f′（x）=
x+
sin2x
x-1，其中f（0）=0
令f′（x）=G（x），对G（x）求导数得G′（x）
G′（x）=
x（-sinx）+
[2sinxcosx
x+sin2x（-
）
x（-sinx）]
=
sin3x
x＞0在x∈（0，
）上恒成立．
故G（x）即f（x）的导函数在（0，
）上为增函数，故f′（x）＞f′（0）=0
进而知f（x）在（0，
）上为增函数，故f（x）＞f（0）=0，当x=
时，sin3x＞x3cosx显然成立．
于是有sin3x-x3cosx＞0在（0，
]上恒成立．
（3）∵由（2）可知sin3x-x3cosx＞0在（0，
]上恒成立．
则g′（x）=
在（0，
]上恒成立．即g（x）在（0，
]单增
于是g（x）≤g（
）=
．故g（x）=
-
（0＜x≤
）的最大值为
．
点评：本题考查基本函数导数的求导运算，考查导数工具证明不等式，考查函数最值的求解，充分发挥导数的工具作用，考查学生的转化与化归思想．
（2）通过构造函数，研究构造的函数的导函数完成该不等式的证明问题，注意发挥导数的工具作用；
（3）利用（2）的结论完成该函数最值的求解，注意发挥函数单调性与最值的联系作用．
解答：解：（1）根据求导的运算法则得出f′（x）=
x+
sin2x
x-1；（2）由（1）知f′（x）=
x+
sin2x
x-1，其中f（0）=0令f′（x）=G（x），对G（x）求导数得G′（x）
G′（x）=
x（-sinx）+
[2sinxcosx
x+sin2x（-
）
x（-sinx）]=
sin3x
x＞0在x∈（0，
）上恒成立．故G（x）即f（x）的导函数在（0，
）上为增函数，故f′（x）＞f′（0）=0进而知f（x）在（0，
）上为增函数，故f（x）＞f（0）=0，当x=
时，sin3x＞x3cosx显然成立．于是有sin3x-x3cosx＞0在（0，
]上恒成立．（3）∵由（2）可知sin3x-x3cosx＞0在（0，
]上恒成立．则g′（x）=
在（0，
]上恒成立．即g（x）在（0，
]单增于是g（x）≤g（
）=
．故g（x）=
-
（0＜x≤
）的最大值为
．点评：本题考查基本函数导数的求导运算，考查导数工具证明不等式，考查函数最值的求解，充分发挥导数的工具作用，考查学生的转化与化归思想．
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}的前n项和为Sn，则S2010的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|