Question

【题目】已知数列满足条件：，且是公比为的等比数列，设.

（1）求出使不等式成立的的取值范围；

（2）求和，其中；

（3）设，求数列的最大项和最小项的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）数列有最大值；数列有最小值.

【解析】

(1)利用数列满足条件:，，且是公比为的等比数列，可得公比的不等式，故可求q的取值范围；
(2)先考虑相邻项的关系,可知比值为常数，故可知数列是等比数列，由于公比不定，故要进行分类讨论；
(3)先求数列的通项，再利用单调性,研究其最值.

(1)由题意得，

则不等式即为，
由题设，，故从上式可得 ,
，故；
(2) 由（1）得，所以，，

所以，

，所以是首项为，公比为q的等比数列，

所以，
当时，，；
当时，；
当时，；
，
(3)从上式可知,设，
当时,递减，

，

当时，递减,，，
所以当时，数列有最大值；当时，数列有最小值.