Question

已知函数f（x）=x²+ax+blnx（x＞0，实数a，b为常数）．
（Ⅰ）若a=1，b=-1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若a+b=-2，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出导函数的根，判断导函数左右两边的符号，得函数的单调性，据极值的定义求出极值．
（Ⅱ）求出导函数的根，讨论根在不在定义域内；若根在定义域内，讨论两根的大小；判断根左右两边导函数的符号，据单调性与导函数的关系求出单调性．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=x²+x-lnx，则f′（x）=2x+1-

1

x

，
令f′（x）=0，得x=-1（舍去），x=

1

2

．
当0＜x＜

1

2

时，f′（x）＜0，函数单调递减；
当x＞

1

2

时，f′（x）＞0，函数单调递增；
∴f（x）在x=

1

2

处取得极小值

3

4

+ln2．

（Ⅱ）由于a+b=-2，则a=-2-b，从而f（x）=x²-（2+b）x+blnx，
则f′（x）=2x-（2+b）+

b

x

=

(2x-b)(x-1)

x

令f′（x），得x₁=

b

2

，x₂=1．
1、当

b

2

≤0，即b＜0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），
单调递增区间为（1，+∞）；
2、当0＜

b

2

＜1，即0＜b＜2时，列表如下：
所以，函数f（x）的单调递增区间为（0，

b

2

），（1，+∞），
单调递减区间为（

b

2

，1）；
3、当

b

2

=1，即b=2时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
4、当

b

2

＞1，即b＞2时，列表如下：

所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（

b

2

，+∞），
单调递减区间为（1，

b

2

）；
综上：当

b

2

≤0，即b＜0时，
函数f（x）的单调递减区间为（0，1），
单调递增区间为（1，+∞）；
当0＜

b

2

＜1，即0＜b＜2时，
函数f（x）的单调递增区间为（0，

b

2

），（1，+∞），
单调递减区间为（

b

2

，1）；
当

b

2

=1，即b=2时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当

b

2

＞1，即b＞2时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（

b

2

+∞），
单调递减区间为（1，

b

2

）．

点评：本题考查利用导数研究函数的性质：求极值，求单调区间．考查分类讨论时注意分类的起点．