Question

已知斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C。

（Ⅰ）求侧棱A₁A与底面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求顶点C到侧面A₁ABB₁的距离。

Answer 1

解：（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D，

由面A₁ACC₁⊥面ABC，得A₁D⊥面ABC， ∴∠A₁AD为A₁A与面ABC所成的角。

∵AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C， ∴∠A₁AD＝45°为所求。

（Ⅱ）作DE⊥AB，垂足为E，连A₁E，则由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB。

∴∠A₁ED是面A₁ABB₁与面ABC所成二面角的平面角。

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC。又D是AC的中点，

BC＝2，AC＝2， ∴DE＝1，AD＝A₁D＝，

tgA₁ED＝A₁D/DE=。 故∠A1ED＝60°为所求。

（Ⅲ）解法一：由点C作平面A₁ABB₁的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A₁ABB₁的距离。

连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB。 又A₁E⊥AB，

知HB∥A₁E，且BC∥ED， ∴∠HBC＝∠A₁ED＝60°。

∴CH＝BCsin60°＝为所求。

解法二：连结A₁B。 根据定义，点C到面A₁ABB₁的距离，即为三棱锥C－A1AB的高h。  由V锥C－A₁AB＝V锥A₁－ABC得1/2S△AA₁Bh＝1/2S△ABCA₁D，

即 1/3×2h=1/3×2×∴h= 为所求。