Question

（文科做）（本题满分14分）如图，在长方体
ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.
（1）证明：D₁E⊥A₁D;
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D₁—EC－D的大小为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（理科做）(本题满分14分)
如图，在直三棱柱ABC – A₁B₁C₁中，∠ACB = 90°，CB = 1，
CA =，AA₁ =，M为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角B – AM – C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面ABM的距离．

Answer 1

、（文）解法一（1）∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴D₁E⊥A₁D．
（2）设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，故
（3）过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，∴∠DHD₁为二面角D₁—EC—D的平面角.设AE=x，则BE=2－x，

 （3）设平面D₁EC的法向量，
由 令b="1," ∴c=2,a=2－x，∴依题意∴（不合，舍去），
∴AE=时，二面角D₁—EC—D的大小为. 
 （Ⅲ）设点C到平面ABM的距离为h，易知BO =，可知S_△ABM =· AM · BO =×   ∵V_{C – ABM} = V_{M – ABC}  ∴hS_△ABM =MC ·S_△ABC  
∴h =  ∴点C到平面ABM的距离为解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）如图以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线  
分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A (，0，0)，A₁(，0，)，B (0，1，0)，
设M (0，0，z₁)     ∵AM⊥BA₁．
∴，即– 3 + 0 +z₁ = 0，故z₁ =，所以M (0，0，)    
设向量m = (x，y，z)为平面AMB的法向量，则m⊥，m⊥，则
即，令x = 1，平面AMB的一个法向量为m = (1，，)，显然向量是平面AMC的一个法向量
cos < m，，易知，m与所夹的角等于二面角B—AM—C的大小，故所求二面角的大小为45°．（Ⅲ）所求距离为：，  即点C到平面ABM的距离为

略