Question

已知函数，其中ｅ是自然数的底数，．
（1）当时，解不等式；
（2）当时，求整数ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解；
（3）若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围．

Answer 1

⑴因为，所以不等式即为，
又因为，所以不等式可化为，
所以不等式的解集为．………………………………………4分
⑵当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，
所以原方程等价于，令，
因为对于恒成立，
所以在和内是单调增函数，……………………………6分
又，，，，
所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，
所以整数的所有值为．……………………………………………8分
⑶，
①当时，，在上恒成立，当且仅当时
取等号，故符合要求；………………………………………………………10分
②当时，令，因为，
所以有两个不相等的实数根，，不妨设，
因此有极大值又有极小值．
若，因为，所以在内有极值点，
故在上不单调．………………………………………………………12分
若，可知，
因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，
必须满足即所以.--------------------------14分
综上可知，的取值范围是．………………………………………16分

略