Question

设函数f(x)=x³-6x+5,x∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

（2）若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围；

（3）已知当x∈(1,+∞)时，f(x)≥k(x-1)恒成立，求实数k的取值范围.

Answer 1

解:(1)利用导数求单调区间和极值；（2）由（1）的结论，问题转化为y=f(x)和y=a的图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求解；（3）将问题转化为不等式恒成立问题，利用分离参数法求解.

(1)f′(x)=3x²-6,令f′(x)=0,解得x₁=-,x₂=.因为当x＞或x＜-时，f′(x)＞0;

当-＜x＜时，f′(x)＜0.

所以f(x)的单调递增区间为（-∞,-）和（,+∞）;单调减区间为（-，）.

当x=-时，f(x)有极大值5+4，当x=时，f(x)有极小值5-4.

(2)由（1）的分析知y=f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当5-4＜a＜5+4时，直线y=a与y=f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)=a有三个不同的解.

(3)f(x)≥k(x-1),即（x-1）(x²+x-5)≥k(x-1).因为x＞1,所以k≤x²+x-5在（1，+∞）上恒成立.

令g(x)=x²+x-5,g(x)在（1，+∞）上是增函数，所以g(x)＞g(1)=-3.

所以k的取值范围是k≤-3.