题目内容

数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点（Sn，an+1）在直线y=2x+1上，n∈N*．
（1）若数列{an}是等比数列，求实数t的值；
（2）设bn=nan，在（1）的条件下，求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）设各项均不为0的数列{cn}中，所有满足ci•ci+1＜0的整数i的个数称为这个数列{cn}的“积异号数”，令（n∈N*），在（2）的条件下，求数列{cn}的“积异号数”．
【答案】分析：（1）根据数列的第n项与前n项和的关系可得n≥2时，有，化简得an+1=3an （n≥2），要使n≥1时{an}是等比数列，只需，从而得出t的值．
（2）由（1）得，等比数列{an}的首项为a1=1，公比q=3，故有 ，从而得到，用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn ．
（3）由条件求得，计算可得c1c2=-1＜0，再由cn+1-cn＞0可得，数列{cn}递增，由，得当n≥2时，cn＞0，由此求得数列{cn}的“积异号数”为1．
解答：解：（1）由题意可得，当n≥2时，有，（1分）
两式相减，得 an+1 -an =2an，即an+1=3an （n≥2），（2分）
所以，当n≥2时，{an}是等比数列，要使n≥1时{an}是等比数列，
则只需，从而得出t=1．（4分）
（2）由（1）得，等比数列{an}的首项为a1=1，公比q=3，∴．（5分）
∴，（6分）
∴，①（7分）
上式两边乘以3得②，（8分）
①-②得，（9分）
∴．（10分）
（3）由（2）知，∵，
∵，，∴c1c2=-1＜0．（11分）
∵，∴数列{cn}递增．（12分）
由，得当n≥2时，cn＞0．（13分）
∴数列{cn}的“积异号数”为1．（14分）
点评：本题主要考查等比关系的确定，用错位相减法对数列进行求和，数列的第n项与前n项和的关系，数列与函数的综合，属于难题．
练习册系列答案
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设等比数列{an}的公比q≠1，Sn表示数列{an}的前n项的和，Tn表示数列{an}的前n项的乘积，Tn（k）表示{an}的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积，即Tn（k）=
Tn
ak
（n，k∈N+，k≤n），则数列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n项的和是
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
（用a1和q表示）
若数列{an}的通项an=
1
pn-q
，实数p，q满足p＞q＞0且p＞1，sn为数列{an}的前n项和．
（1）求证：当n≥2时，pan＜an-1；
（2）求证sn＜
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)；
（3）若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
，求证sn＜
2
3
．
已知Sn是数列{an}的前n项和，an＞0，Sn=
a
2
n
+an
2
，n∈N*，
（1）求证：{an}是等差数列；
（2）若数列{bn}满足b1=2，bn+1=2an+bn，求数列{bn}的通项公式bn．
（2012•商丘二模）数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：
1
2
，
1
3
，
2
3
，
1
4
，
2
4
，
3
4
，
1
5
，
2
5
，
3
5
，
4
5
…，
1
n
，
2
n
，…，
n-1
n
，…有如下运算和结论：
①a24=
3
8
；
②数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列；
③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和为Tn=
n2+n
4
；
④若存在正整数k，使Sk＜10，Sk+1≥10，则ak=
5
7
．
其中正确的结论是
①③④
①③④
．（将你认为正确的结论序号都填上）
给出下列命题：
①若数列{an}的前n项和Sn=2n+1，则数列{an}为等比数列；
②在△ABC中，如果A=60°，a=
6
，b=4，那么满足条件的△ABC有两解；
③设函数f（x）=x|x-a|+b，则函数f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0；
④设直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的序号是
③
③
．

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